Question

已知遞增等差數列{a_n}公差為d，正項等比數列{b_n}公比為q，（q≠1），是否存在實數m，使得logm

bn

man

與n無關？若存在，求出m，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由d＞0，q＞0，q≠1，知logm

bn

man

=logmbn-an=logmb1qn-1-[a1+(n-1)d]=（-a₁+log_mb₁）+（n-1）（log_mq-d），要使其與n無關，只需log_mq-d=0，由此能求出m．

解答：解：∵d＞0，q＞0，q≠1，
∴logm

bn

man

=logmbn-an=logmb1qn-1-[a1+(n-1)d]
=（-a₁+log_mb₁）+（n-1）（log_mq-d），
要使其與n無關，
只需log_mq-d=0，
即m=q

1

d

，
此時∵q＞0，q≠1，
∴m＞0，m≠1，滿足要求的m存在，
為m=q

1

d

．

點評：本題考查等差數列的通項公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．