Question

（本題16分）已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數。

（1）如果函數在上是減函數，在上是增函數，求的值。

（2）設常數，求函數的最大值和最小值；

（3）當是正整數時，研究函數的單調性，并說明理由  

Answer 1

解析：(1) 由已知得=4, ∴b=4.                           ………………3分

     (2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],于是,當x=時, 函數f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

當1≤c≤2時, 函數f(x)的最大值是f(2)=2+；

當2≤c≤4時, 函數f(x)的最大值是f(1)=1+c.                    ………………8分

(3)設0<x₁<x₂,g(x₂)－g(x₁)=.

     當<x₁<x₂時, g(x₂)>g(x₁), 函數g(x)在[,+∞)上是增函數；

     當0<x₁<x₂<時, g(x₂)>g(x₁), 函數g(x)在(0, ]上是減函數.

   當n是奇數時,g(x)是奇函數,

函數g(x) 在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數.

   當n是偶數時, g(x)是偶函數,

   函數g(x)在(－∞,－)上是減函數, 在[－,0]上是增函數.………………16分