Question

（本題滿分14分）

數(shù)列，（）由下列條件確定：①；②當(dāng)時(shí)，與滿足：當(dāng)時(shí)，,；當(dāng)時(shí)，，.

（Ⅰ）若，，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）在數(shù)列中，若(,且)，試用表示；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)數(shù)列滿足，，

(其中為給定的不小于2的整數(shù))，求證：當(dāng)時(shí)，恒有.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414552381251153/SYS201205241457371406945375_DA.files/image001.png">，所以,.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414552381251153/SYS201205241457371406945375_DA.files/image004.png">,所以,.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414552381251153/SYS201205241457371406945375_DA.files/image007.png">,所以,.

所以.    …………………………………… 2分

由此猜想，當(dāng)時(shí),，則，.… 3分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，已證成立.                                            

②假設(shè)當(dāng)（，且）猜想成立，

      即，，.

     當(dāng)時(shí)，由， 得，則，.

 綜上所述，猜想成立.

所以.

故.       ……………………………………………… 6分

（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，假設(shè)，根據(jù)已知條件則有，

與矛盾，因此不成立，      …………… 7分

所以有，從而有，所以.           

當(dāng)時(shí)，，,

所以;       …………………… 8分

當(dāng)時(shí)，總有成立.

又，

所以數(shù)列()是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列, ，,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414552381251153/SYS201205241457371406945375_DA.files/image034.png">，所以.   …………………………… 10分

（Ⅲ）證明：由題意得

                          .

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414552381251153/SYS201205241457371406945375_DA.files/image050.png">，所以.

所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.            …………………………………… 11分

因此要證,只須證.

由，則<，即.…… 12分

因此

.

所以.

故當(dāng),恒有.       …………………………………………………14分

 

【解析】略