Question

若關于x的方程有四個不相等的實根，則實數k的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   （0，+∞）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由題意可得當x＞0時，f（x）=x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有2個交點，當k=0時，滿足條件；當f（x） 和
g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時，由f′（x）=g′（x）可得，x=1，此時，k=-ln2，綜上可得，實數k的
取值范圍．
解答：∵關于x的方程有四個不相等的實根，
∴偶函數f（x）=x² 和偶函數 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有4個交點，
故當x＞0時，f（x）=x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有2個交點，
由于函數g（x） 的圖象經過定點（0，k），f（x）的圖象過點（0，0），再由對數函數和冪函數的單調性特點可得，
當k=0時，f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上有3個交點．
當f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時，由f′（x）=g′（x）可得 x=，x=1，此時，k=-ln2．
綜上可得，實數k的取值范圍是 ，
故選D．
點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．