Question

如圖,已知正方形ABCD與矩形BEFD所在的平面互相垂直,AB=,DF=1,P是線段EF上的動點.

(1)若點O為正方形ABCD的中心,求直線OP與平面ABCD所成角的最大值;

(2)當點P為EF的中點時,求直線BP與FA所成角的正弦值;

(3)求二面角A-EF-C的大小.

Answer 1

解:(1)連結OP.設OP與平面ABCD所成角為α,則α∈［,］.

當P是線段EF的中點時,OP⊥平面ABCD,直線OP與平面ABCD所成的最大角是.

(2)連結AF、FC、OF.

易證FO∥PB,

∴∠AFO是直線BP與FA所成的角.

依題意,在等腰△AFC中,FO⊥AC,△AOF為直角三角形.

∵AD=2,DF=1,∴AF=3.

又AO==1,

∴在Rt△AOF中,sin∠AFO=.

(3)連結AE、EC,則AF=FC=AE=EC=.

取EF的中點P,連結AP、CP,則AP⊥EF,CP⊥EF,

∴∠APC是二面角A-EF-C的平面角.

等腰△AEF≌△CEF,

∴在△APC中,AP=CP=.

又AC=2,∴△APC是直角三角形,且∠APC=.

∴二面角A-EF-C的大小是.