Question

設，
（1）若的圖像關于對稱，且，求的解析式；
（2）對于（1）中的，討論與的圖像的交點個數.

Answer 1

(1)；（2）見解析.

試題分析：(1)因為函數圖象關于對稱，故為二次函數且對稱軸為 ∴ ，又，代入可求得函數解析式；（2）將問題轉化為有幾個解的問題，令，利用導數討論其增減區間，當時，與的圖像無交點；當時，與的圖像有一個交點；當時，與的圖像有兩個交點.
試題解析：（1）∵的圖像關于對稱
∴為二次函數且對稱軸為 ∴
又∵ ∴ ∴ 
（2） 即
即
令
當時     
∵   ∴
即在遞增
當時     
∵     ∴
即在遞減， ∵
當時 
當時 
∴①當時，與的圖像無交點；
②當時，與的圖像有一個交點；
③當時，與的圖像有兩個交點.