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判斷函數f(x)=
x3(ax-1)ax+1
(a＞0，a≠1)的奇偶性，并加以證明．
分析：判斷函數的奇偶性，首先要判斷函數的定義域，若定義域關于原點對稱，則判斷f（-x）與f（x）的關系，若f（-x）=f（x），則函數f（x）是偶函數，若f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數．
解答：解：f（x）是偶函數．
證明：f（x）定義域為全體實數，關于原點對稱．
由于 f（-x）=
(-x)3(a-x-1)
a-x+1
=-
x3(
1
ax
-1)
1
ax
+1  
=-
x3
1-ax
ax
1+ax
ax
=-
x3(1-ax)
ax+1
=
x3(ax-1 )
ax+1
=f（x）
即對任意的x∈R，f（-x）=f（-x）．
所以f（x）為偶函數．
點評：本題主要考查了函數的兩大基本性質之一的函數的奇偶性．用定義判斷函數的奇偶性主要兩個基本步驟，第一步判斷函數的定義域是否關于原點對稱，第二步判斷f（-x）與f（x）的關系．本題屬于中檔題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為G的函數f（x），如果同時滿足下列兩個條件：①f（x）在G內是單調函數；②存在區間[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦為[a，b]，那么就稱f（x）為好函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）=
lnx
ex
+1在（0，+∞）上是否為好函數？并說明理由；
（Ⅱ）求好函數f（x）=-x3+1符合條件的一個區間[a，b]；
（Ⅲ）若函數f（x）=m+
x+2
是好函數，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為D：（-∞，0）∪（0，+∞），且滿足對于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（II）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（III）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1成立，且當x＞0時，f（x）＞-1，f（1）=0．
（1）求f（5）的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并證明；
（3）若對于任意給定的正實數ε，總能找到一個正實數σ，使得當|x-x0|＜σ時，|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數f（x）在x=x0處連續．試證明：f（x）在x=0處連續．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ln（2+3x）-
3
2
x2．
（1）求函數y=f（x）的極大值；
（2）令g（x）=f（x）+
3
2
x2+（m-1）x（m為實常數），試判斷函數g（x）的單調性；
（3）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為A，值域為B，如果存在函數x=g（t），使得函數y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數x=g（t）是不是函數f（x）的一個等值域變換？說明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t2-2t+3，t∈R；
②f（x）=x2-x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R；
（2）設函數f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at2+2t+1，若函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換，求實數a的取值范圍．

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