Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足下面兩個條件：
①對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
②當x＞0時，f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調性，并證明；
（3）如果不等式對于任意x∈R都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
再取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數 …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，則 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x） 在R上是減函數 …（10分）
（3）∵，且f（x）是奇函數
∴
∵f（x） 在R上是減函數
∴，即
∴
∴下面即求函數的最大值
由于=，sinx∈[-1，1]
∴當且僅當sinx=1時，=
所以…（16分）
分析：（1）根據已知等式，采用賦值法結合函數奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數；
（2）根據函數單調性的定義，任取x₁＜x₂，將 f（x₂）與f（x₁）作差得到負數，從而 f（x₁）＞f（x₂），得到f（x） 在R上是減函數；
（3）根據函數在R上是奇函數且為減函數，將原不等式轉化為在R上恒成立，再根據二次函數在閉區間上的最值，得到不等式右邊的最大值，從而得到實數m的取值范圍．
點評：本題著重考查了函數的單調性與奇偶性、復合三角函數的最值和不等式恒成立問題的處理等知識，屬于中檔題．