Question

如圖，在正三棱柱中， 是的沿長線上一點，過三點的平面交于，交于 

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）當平面平面時，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因為∥，在平面外，所以∥平面；……2分

是平面與平面的交線，所以∥，故∥；…………4分

而在平面外，所以∥平面……6分

注：不寫“在平面外”等條件的應酌情扣分；向量方法按建系、標點、求向量、算結果這四個步驟是否正確來評分.

（Ⅱ）解法一：取中點、中點則由∥知

在同一平面上，并且由知而與（Ⅰ）同理可證平行于平面與平面的交線，因此，也垂直于該交線，但平面平面，所以平面，…………8分

于是，∽

…………10分

即…………12分

注：幾何解法的關鍵是將面面垂直轉化為線線垂直，閱卷時應注意考生是否在運用相關的定理.

（Ⅱ）解法二：如圖，取中點、中點.  以為原點，為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系.

則在平面中,，向量

設平面的法向量，則由即

得………8分

在平面中,，向量

設平面的法向量，由

得…10分

平面平面，，即………12分

注：使用其它坐標系時請參考以上評分標準給分

【解析】略