Question

已知a＞0且a≠1，若函數f(x)=loga(ax2-x)在區間[3，4]上是單調遞減函數，則實數a的取值范圍為（　　）

• A．(

  1

  3

  ，1)
• B．（1，+∞）
• C．[

  1

  8

  ，

  1

  3

  ]∪(1，+∞)
• D．[

  1

  8

  ，

  1

  4

  ]∪(1，+∞)

Answer 1

分析：令g（x）=ax²-x，則當a＞1時，g（x）在[3，4]上單調遞減，且g（x）＞0，利用二次函數的性質求得實數a的取值范圍．當0＜a＜1時，g（x）在[3，4]上單調遞增，且g（x）＞0，再利用二次函數的性質求得實數a的取值范圍，最后把這兩個a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：令g（x）=ax²-x（a＞0，且a≠1），則當a＞1時，g（x）在[3，4]上單調遞減，且g（x）＞0．
∴4≤

1

2a

，且 g（4）＞0．   解得 a無解．
則當0＜a＜1時，g（x）在[3，4]上單調遞增，且g（x）＞0．
∴

1

2a

≤3，且 g（3）＞0． 解得 a＞

1

3

，∴1＞a＞

1

3

．
綜上可得，實數a的取值范圍為(

1

3

，1)，
故選A．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，對數函數的單調性和特殊點，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬中檔題．