Question

已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B

解析試題分析：根據題意可知，ABC的中心為O，連CO并延長交AB于D，過B1作B1E⊥AB交AB的延長線于E，再過B1作B1F⊥平面ABC交平面ABC于F。
設AB＝a。∵AB＝AC＝BC＝a，O是△ABC的中心，∴CD⊥AD、AD＝BD＝，∴CD＝
顯然有：。
∵O是在平面ABC上的射影，∴O⊥平面ABC，∴AD⊥，又AD⊥CD、CD∩＝O，∴AD⊥平面，∴AD⊥。
由＝a、AD＝、⊥，得：。∵⊥平面ABC，∴⊥
由、、⊥，得：
＝
∵⊥、⊥，∴∥
∵是三棱柱，∴。
由∥,得：是平行四邊形，∴＝、=a顯然，有：AE＝AD＋DE＝＋a＝。
∵⊥平面ABC,⊥平面ABC，∴∥，∴共面。
∵是三棱柱，∴∥平面ABC，而平面ABC∩平面＝OF，∴∥OF。由∥、∥OF，得：是平行四邊形，∴＝＝
∵⊥平面ABC，∴⊥AF。，得：sin∠＝＝
考點：本試題考查了線面角的求解知識。
點評：對于該試題中的線面角的求解，關鍵是建立線面垂直的背景，同時根據已知的邊長和側棱長的關系式得到角度，進而求解運算，屬于難度試題。