Question

公比不是1的等比數列{a_n}的通項公式a_n=cosnβ，且對任意的n∈N^*都有a_n+2=a_n，則該數列的前2009項的積為 ______．

Answer 1

由a_n+2=a_nq²=a_n，
得到q²=1，又q≠1，所以q=-1，
令n=1，得到a₁=cosβ，n=2時，a₂=cos2β，
則

a2

a1

=

2cos2β -1

cosβ

=q=-1，
化簡得：2cos²β+cosβ-1=0，
即（2cosβ-1）（cosβ+1）=0，
解得cosβ=

1

2

或cosβ=-1，
所以此數列前2009項分別為-1，1，-1，…，-1或

1

2

，-

1

2

，

1

2

，…，-

1

2

，
則該數列的前2009項的積為-1或-

1

22009

．
故答案為：-1或-

1

22009