Question

已知定點O（0，0），A（3，0），動點P到定點O距離與到定點A的距離的比值是

1

2

．
（1）記動點P的軌跡為曲線D．求曲線D的方程，并說明方程表示的曲線；
（2）若M是圓E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一點，過M作曲線D的切線，切點是N，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設動點P的坐標為（x，y），則由2|PO|=|PA|，由兩點間的距離公式即可得出；
（2）先判斷兩圓的位置關系．由|MN|²=|MD|²-|DN|²，可得|MN|²=|MD|²-4，又|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，即可得出．

解答：解（1）設動點P的坐標為（x，y），則由2|PO|=|PA|，得4（x²+y²）=（x-3）²+y²，
整理得：x²+y²+2x-3=0．
化為（x+1）²+y²=4，
因此曲線D的方程表示的是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓．
（Ⅱ）由|DE|=

(2+1)2+(4-0)2

=5，及5＜8-2有：兩圓內含，且圓D在圓E內部．
如圖所示，由|MN|²=|MD|²-|DN|²，即：|MN|²=|MD|²-4，
∵|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，
故5≤|MN|²≤165，

點評：本題考查了圓的標準方程及其性質、直線與圓的位置關系、切線的性質、勾股定理、最值問題的轉化等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．