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如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B為直二面角．
（1）求直線AD1與直線DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小．
（1）以點B為坐標原點，平面ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系．則B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，則H即為D1在平面ABC上的射影．
∵AB=4，AD=3，∴AC=5，DH=
12
5
，HN=
27
25
，HM=
64
25
，D1(
27
25
，
64
25
，
12
5
)，…（6分）
∴
AD1
=(
27
25
，
64
25
，
12
5
)-(0，4，0)=(
27
25
，
-36
25
，
12
5
)，
DC
=(3，0，0)-(3，4，0)=(0，-4，0)，
所以cos＜
AD1
，
DC
＞=
AD1
•
DC
|
AD1
||
DC
|
=
12
25
．…（10分）
（2）設平面D1BC的法向量為
n
=(a，b，c)，
BC
=(3，0，0)，
BA
=(0，4，0)，
∵
n
•
BC
=0，
n
•
D1B
=0，∴
a=0
27a+64b+60c=0
∴
n
=(0，-15，16)．
設平面D1BA的法向量為
m
=(x，y，z)，
∵
m
•
BA
=0，
m
•
D1B
=0，
∴
y=0
27x+64y+60z=0
，∴
m
=(-20，0，-9)．…（14分）
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=-
144
481
，
∴sinθ=
1-(
144
481
)2
=
25
337
481
．…（16分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

于直線m、n與平面α、β,有下列四個命題:
①若m∥α,n∥β且α∥β,則m∥n;
②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,則m⊥n;
③若m⊥α,n∥β且α∥β,則m⊥n;
④若m∥α, n⊥β且α⊥β,則m∥n.
其中真命題的序號是(　　)
A．①②B．③④C．①④D．②③

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖02，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AA1、BB1、BC上的點，PQ∥AB，C1Q⊥PR，求證：∠D1QR=90°．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E在棱CD上．
（1）求證：EB1⊥AD1；
（2）若E是CD中點，求EB1與平面AD1E所成的角；
（3）設M在BB1上，且
BM
MB1
=
2
3
，是否存在點E，使平面AD1E⊥平面AME，若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC與AB所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=
2
，E、F分別是AB、CD的中點
（1）求證：D1E⊥平面AB1F；
（2）求直線AB與平面AB1F所成的角；
（3）求二面角A-B1F-B的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB=1，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點．
（Ⅰ）求證：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直線SN與平面CMN所成角的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：面EFG⊥面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；
（3）求點A到面EFG的距離．

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