Question

若定義在區間D上的函數對于區間D上的任意兩個值、總有以下不等式成立，則稱函數為區間D上的凸函數 .

（1）證明：定義在R上的二次函數是凸函數；

（2）設，并且時，恒成立，求實數的取值范圍，并判斷函數能否成為上的凸函數；

（3）定義在整數集Z上的函數滿足：①對任意的，；②，. 試求的解析式；并判斷所求的函數是不是R上的凸函數說明理由.

Answer 1

證明：（1）對任意x₁, x₂∈R, 當, 有=

                         =

∴當時，，即

當時，函數f(x)是凸函數.

（2） 當x=0時, 對于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當x∈(0, 1]時, 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 當=1時, 取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是.

由此可知，滿足條件的實數a的取值恒為負數，由（1）可知函數f(x)是凸函數

（3）令則，∵ ，∴，

令，則，故；

若，則

；

若，則 ∴；∴時，.

綜上所述，對任意的，都有；

∵所以，不是R上的凸函數.

對任意，有

，

所以，不是上的凸函數.