Question

已知離心率為

2

2

的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，橢圓C₁與拋物線C₂：y²=-x的交點的橫坐標為
-2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如果直線l：y=kx+m與橢圓相交于P₁、P₂兩點，設直線P₁F₁與P₂F₁的傾斜角分別為α，β，當α+β=π時，求證：直線l必過定點．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率的值，得到橢圓中參數的關系，利用橢圓C₁與拋物線C₂：y²=-x的交點的橫坐標為-2，代入拋物線的方程，求出交點的坐標，代入橢圓方程求出參數值，即得到橢圓的方程．
（2）將直線的方程與橢圓的方程聯立，利用韋達定理，得到交點的坐標滿足的條件，將已知條件α+β=π轉化為兩條直線的斜率滿足k₁+k₂=0，將斜率用坐標表示，得到 m=4k，代入直線的方程，判斷出直線過定點．

解答：解：（1）由于e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，

b2

a2

=

1

2

，a²=2b²
又因y²=-x的交點的橫坐標為-2，y²=2，代入

(-2)2

2b2

+

2

b2

=1，

4

b2

=1，b2=4，
∴a²=8
所以橢圓方程為    

x2

8

+

y2

4

=1
（2）聯立

x2

8

+

y2

4

=1與y=kx+m得到（2k²+1）x²+4mkx+2m²-8=0x1+x2=-

4mk

2k2+1

，x1x2=

2m2-8

2k2+1

設直線P₁F₁與P₂F₁的傾斜角分別為α，β，
當α+β=π時，若設k1=kP1F1，k2=kP2F1
k₁=tanα，k₂=tanβ=tan（π-α）=-tanα=-k₁，
∴k₁+k₂=0
k1=

y1

x1+2

=

kx1+m

x1+2

，k2=

y2

x2+2

=

kx2+m

x2+2

k₁+k₂=

kx1+m

x1+2

+

kx2+m

x2+2

=

(kx1+m)(x2+2)+(kx2+m)(x1+2)

(x1+2)(x2+2)

=

2kx1x2+(2k+m)(x1+x2)+4m

(x1+2)(x2+2)

=

2k(2m2-8)+(2k+m)(-4mk)+4m(2k2+1)

(x1+2)(x2+2)(2k2+1)

=

-16k+4m

(x1+2)(x2+2)(2k2+1)

=0
所以   m=4k
直線方程為    y=kx+4k=k（x+4），
故直線過定點 （-4，0）

點評：解決直線與圓錐曲線的相交的有關問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯立，得到關于應該未知數的方程，利用韋達定理來解決．屬于難題，計算量大．