Question

（2012•金華模擬）已知函數f（x）=lnx+ax²+x．
（1）若f（x）在（0，+∞）是增函數，求a的取值范圍；
（2）已知a＜0，對于函數f（x）圖象上任意不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞x₁，直線AB的斜率為k，記N（u，0），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），若

A1B1

=λ

A1N

(1≤λ≤2)，求證：f′（u）＜k．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用f（x）在（0，+∞）是增函數，可得f′(x)=

2ax2+x+1

x

＞0，進而分離參數，即可求得a的取值范圍；
（2）先求得k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+a(x2+x1)+1，由N（u，0），

A1B1

=λ

A1N

(1≤λ≤2)，求得u=

x2+(λ-1)x1

λ

，進而可得f′（u）-k的表達式，要證f′（u）＜k，只要證

λ(x2-x1)

x2+(λ-1)x1

-ln

x2

x1

＜0，利用換元，構造新函數，即可證得．

解答：（1）解：求導函數可得：f′(x)=

2ax2+x+1

x

（x＞0）
∵f（x）在（0，+∞）是增函數，
∴f′(x)=

2ax2+x+1

x

＞0
∴2ax²+x+1＞0
∴2a＞-

1

x

-(

1

x

)2
∵x＞0，∴-

1

x

-(

1

x

)2＜0
∴a≥0；
（2）證明：∵A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），∴k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+a(x2+x1)+1
∵N（u，0），

A1B1

=λ

A1N

(1≤λ≤2)
∴x₂-x₁=λ（u-x₁）
∴u=

x2+(λ-1)x1

λ

∴f′（u）=

λ

x2+(λ-1)x1

+2a×

x2+(λ-1)x1

λ

+1
∴f′（u）-k=

λ

x2+(λ-1)x1

-

lnx2-lnx1

x2-x1

+

a

λ

(2-λ)(x2-x1)
∵a＜0，x₂＞x₁，1≤λ≤2
∴

a

λ

(2-λ)(x2-x1)≤0
∴要證f′（u）＜k，只要證

λ

x2+(λ-1)x1

-

lnx2-lnx1

x2-x1

＜0
即

λ(x2-x1)

x2+(λ-1)x1

-ln

x2

x1

＜0
設

x2

x1

=t，則

λ(x2-x1)

x2+(λ-1)x1

-ln

x2

x1

=

λ(t-1)

t+(λ-1)

-lnt，顯然t＞1
令g（t）=

λ(t-1)

t+(λ-1)

-lnt，則g′（t）=

-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2

t(t+λ-1)2

記T（t）=-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²，對稱軸為t=

(λ-1)2+1

2

∵1≤λ≤2，

1

2

≤

(λ-1)2+1

2

≤1
∴函數在（1，+∞）上單調遞減，
∵T（1）=0，∴，t＞1時，T（t）＜0恒成立
即-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²＜0恒成立
∵t（t+λ-1）²＞0
∴g′（t）＜0
∴g（t）＜g（1）=0
∴f′（u）＜k．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分離參數法的運用，考查不等式的證明，構造函數，正確求導是關鍵．