Question

已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸端點為（0，2），短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且

AP

=2

PB

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，則焦點在Y軸上，且a=2，b=c，又由a²=b²+c²，聯立即可求得橢圓的方程；
（2）由于直線與橢圓相交且有兩個互異的交點，故直線斜率存在．聯立直線方程與曲線方程，根據方程的根與系數的關系，得到與斜率有關的含參數m等價關系，求出m即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知橢圓的焦點在Y軸上，設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意知a=2，b=c，又a²=b²+c²，則b=

2

，
所以橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1--------------------------------------（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意，直線l的斜率存在，
設其方程為y=kx+m，與橢圓方程聯立
即

y2+2x2=4 y=kx+m

，
則（2+k²）x²+2mkx+m²-4=0，△=（2mk）²-4（2+k²）（m²-4）＞0
由韋達定理知

x1+x2=- 2mk 2+k2 x1•x2= m2-4 2+k2

；--------------------------（6分）
又

AP

=2

PB

，即有（-x₁，m-y₁）=2（x₂，y₂-m），
∴-x₁=2x₂，
∴

x1+x2=-x2 x1•x2=-2x22

，
∴

m2-4

2+k2

=-2(

2mk

2+k2

)2--------------------------------------------（8分）
整理得（9m²-4）k²=8-2m²
又9m²-4=0時不成立，所以k2=

8-2m2

9m2-4

＞0--------------------（10分）
得

4

9

＜m2＜4，此時△＞0
所以m的取值范圍為（-2，-

2

3

）∪(

2

3

，2)．----------------------------（12分）

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系，這是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理進行求解．解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點．