Question

如圖，已知圓C：，設M為圓C與x軸負半軸的交點，過M作圓C的弦MN，并使它的中點P恰好落在y軸上.

（Ⅰ）當r=2時， 求滿足條件的P點的坐標；                    

（Ⅱ）當r∈(1，+∞)時，求點N的軌跡G的方程；

（Ⅲ）過點P（0，2）的直線l與（Ⅱ）中軌跡G相交于兩個不同的點E、F，若，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解法一：

由已知得，r=2時，可求得M點的坐標為M(-1，0)    

設P(0，b),則由（或用勾股定理）得：   

∴ 即點P坐標為(0，)          

        解法二：

           同上可得M(-1，0) ，設N（x，y），

           則解得N（1，）

∴MN的中點P坐標為（0，）    

（Ⅱ）解一：設N(x,y)，

由已知得，在圓方程中令y=0，求得M點的坐標為（,0）

設P（0，b）,則由（或用勾股定理）得： 

∵點P為線段MN的中點，∴,，又r>1

            ∴點N的軌跡方程為       

解法二：設N(x,y)，

同上可得M（,0），則

，消去r，又r>1   ∴點N的軌跡方程為．

（Ⅲ）由題意知直線l的斜率存在且不等于0．

設直線l的方程為y=kx+2，E(x₁,y₁), F(x₂,y₂)

由，得k²x²+(4k-4)x+4=0，

由△=-32k+16>0，得k<且.

        ∵， ∴(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂>0.

        ∴(k²+1)x₁x₂+(2k-1)(x₁+x₂)+5>0. 得k²+12k>0.  ∴k>0或k<-12.

∴0<k<或k<-12.