Question

如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點．將沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點在平面ABCD內的射影落在內．

（Ⅰ）求證：平面PBD；

 （Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】本試題主要是考查了線面垂直的證明，以及二面角的問題的綜合運用。

（1）要證平面PBD，關鍵是證明線線垂直，得到結論。

（2）利用已知條件建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量，然后借助于向量的夾角來得到二面角的平面角的大小。

解：(Ⅰ)易知為的中點，則，又，

又，平面，

所以平面

(Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過垂直于平面向上的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則,，，

易知平面的法向量為

，

設平面的法向量為

則由得，

解得，，令，則

則

解得，，即，即，

又，∴，故.

方法二：作，連接，

由(Ⅰ)知平面，又平面，

∴，又，平面，

∴平面，又平面，∴，

∴即為二面角的平面角

作于，由平面及平面知，

又，平面，所以平面

所以即為直線與平面所成的角，即

在中，，

由=知，，

則，又，所以，故.