Question

如右圖（1）所示，定義在區間上的函數，如果滿     
足：對，常數A，都有成立，則稱函數  
在區間上有下界，其中稱為函數的下界. （提示：圖(1)、（2）中的常數、可以是正數，也可以是負數或零）
（Ⅰ）試判斷函數在上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有右圖（2）特征的函數稱為在區間上有上界.
請你類比函數有下界的定義，給出函數在區間上
有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在上是否
有上界？并說明理由；                   
（Ⅲ）若函數在區間上既有上界又有下界，則稱函數
在區間上有界，函數叫做有界函數．試探究函數 （是常數）是否是（、是常數）上的有界函數？

Answer 1

(Ⅰ)  A=32  (Ⅱ) 存在常數B=－32（III）上的有界函數

：（I）解法1：∵，由得，
       ∵，      ∴，---2分
∵當時，，∴函數在（0，2）上是減函數；
當時，，∴函數在（2，＋）上是增函數；
∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點，
∴對，都有，---4分即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，∴函數在（0，＋）上有下界. ---5分   
[解法2：
當且僅當即時“＝”成立∴對，都有，
即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，
∴函數在（0，＋）上有下界.
（II）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：
定義在D上的函數，如果滿足：對，常數B，都有≤B成立，則稱函數在D上有上界，其中B稱為函數的上界. -----7分
設則，由（1）知，對，都有，
∴，∵函數為奇函數，∴
∴，∴
即存在常數B=－32，對，都有,
∴函數在（－， 0）上有上界. ---------9分
（III）∵，由得，∵
∴    ∵ ，  ∴，----------10分
∵當時，，∴函數在（0，）上是減函數；
當時，，∴函數在（，＋）上是增函數；
∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點， ------11分
①當時，函數在上是增函數；
∴
∵、是常數，∴、都是常數
令,
∴對，常數A,B,都有
即函數在上既有上界又有下界--------12分
②當  時函數在上是減函數
∴對都有∴函數在上有界.-- -13分
③當時，函數在上有最小值
＝
令,令B=、中的最大者則對，常數A,B,都有
∴函數在上有界.綜上可知函數是上的有界函數---14分