Question

已知點A（2，0），B、C在y軸上，且|BC|=4．
（1）求△ABC外心的軌跡S的方程；
（2）若P、Q為軌跡S上兩點，求實數λ范圍，使

PA

=λ

AQ

，且|PQ|＞3

5

.

Answer 1

分析：（1）先設外心坐標為G（x，y），根據|BC|=4可設B（0，a），C（0，a+4），然后根據外心是外接圓的圓心可以得到（x-2）²+y²=x²+（y-a）²，整理即可得到答案．
（2）先設點P，Q的坐標，然后表示出

PA

、

AQ

，根據

PA

=λ

AQ

可以得到關系式

2- 1 4 y 2 1 =λ( 1 4 y 2 2 -2) -y1=λy2

，再由點A在拋物線y²=4x內可以得到

y

2 1

=8λ，

y

2 2

=

8

λ

，然后用λ表示出y₁、y₂，最后表示出|PQ|整理即可求出λ的范圍．

解答：解：（1）設△ABC外心為G，且G（x，y），B（0，a），C（0，a+4）
由G點在BC的垂直平分線上知y=a+2
由|GA|²=|GB|²，得（x-2）²+y²=x²+（y-a）²
故（x-2）²+y²=x²+2²
即點G的軌跡S為：y²=4x；
（2）設點P(

1

4

y

2 1

，y1)，Q(

1

4

y

2 2

，y2)
則

PA

=(2-

1

4

y

2 1

，-y1)，

AQ

=(

1

4

y

2 2

-2，y2)
∴

2- 1 4 y 2 1 =λ( 1 4 y 2 2 -2) -y1=λy2

因為點A在拋物線y²=4x內，所以λ＞0
∴

y

2 1

=8λ，

y

2 2

=

8

λ

，不妨取y1=2

2λ

，y2=

-2 2

λ

則|PQ|=

( 1 4 y 2 1 - 1 4 y 2 2 )2+(y1-y2)2

=

(2λ- 2 λ )2+(2 2λ + 2 2 λ )2

=

4(λ2+ 1 λ2 )+8(λ+ 1 λ )+8

=2

(λ+ 1 λ )2+2(λ+ 1 λ )

由|PQ|＞3

5

及λ＞0得λ+

1

λ

＞

5

2

，∴λ＞2，或0＜λ＜

1

2

故λ的取值范圍是{λ|λ＞2，或0＜λ＜

1

2

}．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合題．圓錐曲線和直線的綜合題一般作為高考的壓軸題出現．