Question

設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=

15

，BE=

7

2

CF=

10

，求l與m的距離．

Answer 1

分析：過m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP與l確定平面β，β∩α=l'，l'∩m=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分別為Q、R，根據(jù)三垂線定理逆定理，得PD、QE、RF都垂直于m，設(shè)d為異面直線l、m的距離，得PD=

15-d2

，QE=

49 4 -d2

，RF=

10-d2

，最后根據(jù)點(diǎn)D、E、F與K的位置進(jìn)行分類，建立方程并解之，即得異面直線l與m的距離．

解答：解：過m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP與l確定平面β，β∩α=l'，l'∩m=K
作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分別為Q、R，則Q、R∈l'，且AP=BQ=CR=d，d為異面直線l、m的距離
連接PD、QE、RF，則由三垂線定理逆定理，得
∵AD⊥m，BE⊥m，CF⊥m，PD、QE、RF分別為AD、BE、CF在α內(nèi)的射影
∴PD、QE、RF都與直線m垂直，
∴PD=

15-d2

，QE=

49 4 -d2

，RF=

10-d2

當(dāng)D、E、F在K的同側(cè)時(shí)，2QE=PD+RF
∴

49-4d2

=

15-d2

+

10-d2

，解之得d=

6

當(dāng)D、E、F在K的兩側(cè)時(shí)，2QE=PD-RF
∴

49-4d2

=

15-d2

-

10-d2

，解之得方程無實(shí)數(shù)根
綜上所述，得異面直線l、m的距離d=

6

點(diǎn)評：本題給出兩條異面直線，在已知一直線上等距離的三點(diǎn)到另一直線距離的情況下求兩條異面直線的距離，著重考查了空間的垂直位置關(guān)系和異面直線距離求法等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．