Question

已知數列{a_n}中，a₁=0，，n∈N^*．
（1）求證：是等差數列；并求數列{a_n}的通項公式；
（2）假設對于任意的正整數m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數列為“ω域收斂數列”．試判斷：數列，n∈N^*是否為一個“域收斂數列”，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題中所給出的等式，求數列的相鄰兩項的差，并將這個差進行化簡，最終得出這個差等于-1，得出數列是公差為-1的等差數列，則不難通過數列求出數列{a_n}的通項公式；
（2），說明數列{b_n}的奇數項為負數，偶數項為正數．通過作差：|b_n+1|-|b_n|，化簡得|b_n+1|-|b_n|=，討論得當n=3時，|b₃|是數列{|b_n|}的最大項，但是b₃＜0，說明b₃是{b_n}最小的項，而在正數項中，絕對第二大的項可能是b₂或b₄，通過作差比較可得b₂是數列{b_n}的最大項．在此基礎之上不難用定義：對于任意的正整數m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數列為“ω域收斂數列”，證明數列{b_n}是一個“域收斂數列”了．
解答：證：（1）因為，
所以，n∈N^*；
故是等差數列．
由此可得，，
所以，n∈N^*．
（2）由條件，
可知當n=2k，b_n＞0；當n=2k-1時，b_n≤0，k∈N^*．
令，則=．
∴當-n²+5＞0⇒n≤2時，|b_n+1|＞|b_n|；
同理可得，當-n²+5＜0⇒n≥3時，|b_n+1|＜|b_n|；
即數列{|b_n|}在n=1，2，3時遞增；n≥4時，遞減；
即|b₃|是數列{|b_n|}的最大項．
然而，因為{b_n}的奇數項均為-|b_n|，故為數列{b_n}的最小項；
而，，
所以b₂＞b₄，故b₂是數列{b_n}的最大項．
∴對任意的正整數m、n，，
∴數列，n∈N^*是一個“域收斂數列”．
點評：本題是一道由一個數列為基礎，同時考查了函數不等式的相關知識，屬于難題．著重考查數列的性質和應用，解題時要注意認真審題，仔細計算．