Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整數，且a₁＜a₂＜…＜a_n，對任意的x，y∈A，且x≠y，都有|x-y| ≥

xy

36

．
（1）求證：

1

a1

-

1

an

≥

n-1

36

；（提示：可先求證

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

36

（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要證的結論．）
（2）求證：n≤11；
（3）對于n=11，試給出一個滿足條件的集合A．

Answer 1

分析：（1）依題意有|ai-ai+1| ≥

aiai+1

36

（i=1，2，…，n-1），由此能夠推導出

1

a1

-

1

an

≥

n-1

36

．
（2）由

1

a1

＞

n-1

36

，a₁≥1，得1＞

n-1

36

，導出n＜37．由此能夠推導出

1

ai

-

1

an

≥

n-i

36

，從而能夠證明n≤11．
（3）由

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

36

，1-

1

2

≥

1

36

，

1

2

-

1

3

≥

1

36

，

1

3

-

1

4

≥

1

36

，

1

4

-

1

5

≥

1

36

，

1

5

-

1

6

≥

1

36

，設a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6，由此能夠推導出滿足條件的一個集合A．

解答：證明：（1）依題意有|ai-ai+1| ≥

aiai+1

36

（i=1，2，…，n-1），
又a₁＜a₂＜…＜a_n，
∴ai+1-ai≥

aiai+1

36

⇒

ai+1-ai

aiai+1

≥

1

36

，
∴

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

36

（i=1，2，…，n-1）．…（2分）
∴

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an-1

-

1

an

≥

n-1

36

，
故

1

a1

-

1

an

≥

n-1

36

．…（4分）
（2）由（1）得

1

a1

＞

n-1

36

，
又由a₁≥1，得1＞

n-1

36

，因此n＜37．…（5分）
同理，

1

ai

-

1

an

≥

n-i

36

，知

1

ai

＞

n-i

36

．又a_i≥i，得

1

i

＞

n-i

36

．…（7分）
∴i（n-i）＜36（i=1，2，…，n-1）都成立．…（8分）
當n≥12時，取i=6，則i（n-i）=6（n-6）≥36，與i（n-i）＜36不符，
∴n＜12．…（9分）
又當n≤11時，i ( n-i )≤( 

i+n-i

2

 )2=( 

n

2

 )2＜36，符合題意，
∴n≤11．…（10分）
（3）由（1）可知，

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

36

，
∵1-

1

2

≥

1

36

，

1

2

-

1

3

≥

1

36

，

1

3

-

1

4

≥

1

36

，

1

4

-

1

5

≥

1

36

，

1

5

-

1

6

≥

1

36

，
∴可設a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6．…（12分）
由

1

a6

-

1

a7

≥

1

36

，可得a7≥

36

5

，取a₇=8；…（13分）
由

1

a7

-

1

a8

≥

1

36

，可得a8≥

72

7

，取a₈=11；…（14分）
由

1

a8

-

1

a9

≥

1

36

，可得a9≥

396

25

，取a₉=16；…（15分）
由

1

a9

-

1

a10

≥

1

36

，可得a10≥

144

5

，取a₁₀=29；…（16分）
由

1

a10

-

1

a11

≥

1

36

，可得a11≥

1044

7

，取a₁₁=150；…（17分）
∴滿足條件的一個集合A={1，2，3，4，5，6，8，11，16，29，150}（答案不唯一）．…（18分）
說明：也有同學在第（2）小題的證明過程中，
先逐一求得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6，a₇=8，a₈=11，a₉=16，a₁₀=29，a₁₁=150，
然后由

1

a11

-

1

a12

≥

1

36

，得

1

a12

≤

1

a11

-

1

36

=

1

150

-

1

36

＜0，
∴a₁₂不存在，即n≤11．…（20分）

點評：本題考查不等式的證明，考查滿足條件的集合的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．