Question

（2012•瀘州二模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知

3

 b=2asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，根據sinB不為0，兩邊同時除以sinB后，得到sinA的值，由A為銳角三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）利用正弦定理得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，把a與sinA的值代入求出2R的值，進而表示出b和c，將表示出的b，c代入表示出b+c，并由A的度數，利用三角形的內角和定理得到B+C的度數，用C表示出B，代入表示出的b+c，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后提取12，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據B的范圍求出這個角的范圍，可得出此時正弦函數的值域，進而確定出b+c的范圍．

解答：解：（1）由

3

 b=2asinB得：

3

sinB=2sinAsinB，
又sinB≠0，
∴sinA=

3

2

，
由銳角△ABC得：A=60°；
（2）∵a=6，A=60°，設三角形外接圓的半徑為R，
∴根據正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，又

a

sinA

=4

3

，
∴2R=4

3

，
∴b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，
又A=60°，∴B+C=120°，即C=120°-B，
∴b+c=4

3

(sinB+sinC)=4

3

(sinB+sin(120° -B))
=4

3

（sinB+sin120°cosB-cos120°sinB）
=4

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）
=6

3

sinB+6cosB
=12（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=12sin（B+30°），
∵△ABC為銳角三角形，
∴B∈（30°，90°），
∴B+30°∈（60°，120°）
∴

3

2

＜sin(B+30° )≤1，
∴b+c∈(6

3

 ， 12 ]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．