Question

在數列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=

2an

an+1

（n∈N^*），且滿足

n

i=1

a_i（a_i-1）＜m（m為常數，且為整數）．
（1）求證：為{

1

a

-1}等比數列；
（2）求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由遞推式a_n+1=

2an

an+1

（n∈N^*）的結構特點，可以轉化為

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，構造得出等比數列{

1

an

-1}
（2）通過數列{

1

an

-1}的通項公式求出a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，3，…），利用放縮法求的2≤

n

i=1

a_i（a_i-1）≤3，故m的最小值為3．

解答：解：（1）由a_n+1=

2an

an+1

（n∈N^*），得

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又

1

a1

-1=-

1

2

，
所以數列{

1

an

-1}是首項為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
（2）由（1）得

1

an

-1=-

1

2

•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴a_n=

2n

2n-1

，故a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，3，…）
當i≥2時，a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

，
故

n

i=1

a_i（a_i-1）=

n

i=1

2i

(2i-1)2

＜

21

(21-1)2

+

n

i=2

(

1

2i-1-1

-

1

2i-1

)=3-

1

2n-1

＜3，
又

n

i=1

a_i（a_i-1）=

n

i=1

2i

(2i-1)2

≥

21

(21-1)2

=2，
故m的最小值為3．

點評：本題考查數列的遞推公式和通項公式，不等式恒成立問題，考查轉化構造、放縮的解題和證明方法．