Question

如圖，有一塊邊長為1（百米）的正方形區域ABCD，在點A處有一個可轉動的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點P、Q分別在邊BC、CD上），設∠PAB=θ，tanθ=t，探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S（平方百米）．
（1）將S表示成t的函數；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，結合直角三角形，直接用t表示出DQ的長度，然后利用S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，推出探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S．
（2）利用（1）推出探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S，利用基本不等式求出面積的最小值（平方百米）．

解答：解：（1）由題意知BP=t，0≤t≤1，…（2分）
∠DAQ=45°-θ，
DQ=tan(450-θ)=

1-t

1+t

…（4分）

S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ =1- 1 2 t- 1 2 • 1-t 1+t    =2- 1 2 (t+1+ 2 t+1 )

其中t∈[0，1]…（8分）

(2)  S=2- 1 2 (t+1+ 2 t+1 )，t∈[0，1] ≤2- 2 當且僅當t= 2 -1時取等號．

…（12分）
探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S最大值為2-

2

（平方百米） …（14分）

點評：本題考查三角形的實際應用，函數值的求法，基本不等式的應用，考查計算能力．