Question

若橢圓的中心為原點，焦點在x軸上，點P是橢圓上的一點，P在x軸上的射影恰為橢圓的左焦點，P與中心O的連線平行于右頂點與上頂點的連線，且左焦點與左頂點的距離等于-，試求橢圓的離心率及其方程．

Answer 1

解：設橢圓方程為+=1（a＞b＞0），F₁（-c，0），c²=a²-b²，
則P（-c，b），即P（-c，）．
∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，
即-=．∴b=c．
又∵a==b，
∴e===．
又∵a-c=-，解得a=，c=，∴b=，
∴所求的橢圓方程為：+=1．
分析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一個量表示．只需把a、c用同一量表示，由PF₁⊥F₁A，PO∥AB易得b=c，a=b．最后結合條件：“左焦點與左頂點的距離等于-“，即可求出橢圓的其方程．
點評：本題主要考查了橢圓的性質．要充分理解橢圓性質中的長軸、短軸、焦距、準線方程等概念及其關系．