Question

已知點B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

（Ⅰ）求點P的軌跡C對應的方程；
（Ⅱ）已知點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過定點？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）設P（x，y）代入，|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

整理可求
（II）將A（m，2）代入y²=4x可求m=1，從而可得點A的坐標為（1，2），設直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，整理得y²-4my-4t=0，設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，而

AD

•

AE

=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1•y2-2(y1+y2)+4=0，代入可求

解答：解：（I）設P(x，y)代入|

.

PC

|•|

.

BC

|=

.

PB

•

.

CB

得

(x-1)2+y2

=1+x，化簡得y2=4x．（4分）
（II）將A（m，2）代入y²=4x得m=1，
∴點A的坐標為（1，2）．（5分）
設直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，得y²-4my-4t=0，設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，△=（-4m）²+16t＞0（*）（6分）
∴

AD

•

AE

=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1•y2-2(y1+y2)+4=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

-(

y 2 1

4

+

y 2 2

4

)+y1•y2-2(y1+y2)+5=

(y1•y2)2

16

-

(y1+y2)2-2y1•y2

4

+y1•y2-2(y1+y2)+5=

(-4t)2

16

-

(4m)2-2(-4t)

4

+(-4t)-2(4m)+5=0化簡得t2-6t+5=4m2+8m
即t²-6t+9=4m²+8m+4即（t-3）²=4（m+1）²
∴t-3=±2（m+1）
∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式檢驗知只有t=2m+5滿足△＞0（7分）
∴直線DE的方程為x=m（y+2）+5
∴直線DE過定點（5，-2）（8分）

點評：本題主要查了平面向量的數量積的基本運算，圓錐曲線的求解，直線與圓錐曲線的位置關系的應用，解題的關鍵是要具備一定的推理運算能力．