Question

(北京海淀模擬)設函數f(x)的定義域為R，若對任意的實數x均成立，則稱函數f(x)為Ω函數．

(1)試判斷函數和中哪些是Ω函數，并說明理由；

(2)若函數是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數，均有，求證：函數f(x)一定是Ω函數；

(3)求證：若a＞1，則函數是Ω函數．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：(1)∵|x||sin x|≤|x|， 是Ω函數； ∵， ∴不滿足|f(0)|≤|0|， ∴不是Ω函數； ∵當x=0時，顯然符合條件；當x≠0時，， ∴是Ω函數． (2)∵函數y=f(x)是定義在R的奇函數， ∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0． ∴|f(x)－f(0)|≤|x－0|，即|f(x)|≤|x|， ∴函數f(x)一定是Ω函數． (3)設F(x)=f(x)－x，則． ①當x＞0時，∵a＞1， ∴， 當x=0時，， ∴當x≥0時，． ∴F(x)在[0，＋∞)上是減函數． F(x)≤F(0)，又F(0)=f(0)=0， ∴F(x)=f(x)－x≤0． ∵x＞0時，， ∴函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數， ∴f(x)≥f(0)=0． ∴0≤f(x)≤x，即|f(x)|≤|x|． ②當x＜0時，－x＞0，∴|f(－x)|≤|－x|， 顯然f(x)為偶函數， ∴|f(x)|≤|－x|，即|f(x)|≤|x|， ∴在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，則函數f(x)一定是Ω函數．