Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）. (2)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

解析(1)試題分析：解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意:    
解得:         ∴ 橢圓的方程為.
解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， ∵，  ∴.   ∴ 橢圓的方程為.  
(2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由消去，得.  
設(shè),則.  
由,即得.  
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.
∵， ∴.  
同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.  
由解得 
∴.  ∵,
∴點(diǎn)在橢圓上.  ∴.
化簡(jiǎn)得.(*) 由, 
可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).    
解法2：設(shè)點(diǎn),，，由,即得.
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，
即.∵， ∴ .
∵點(diǎn)在切線上,  ∴.       ①        
同理， . ② 綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過(guò)