Question

已知函數f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，函數f(x)在R上有三個零點，且1是其中一個零點．

(1)求b的值 (2)求f(2)的取值范圍

 

Answer 1

(1) b＝0(2)

【解析】

試題分析：(1)由，得：，根據題設可判定，從而解得；

(2)由（1）知：，由，所以，

因為函數在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，函數f(x)在R上有三個零點，且1是其中一個零點，所以的零點，得到函數解析式所剩唯一參數的取值范圍，進而可求的取值范圍.

試題解析：

(1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，

∴f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b. 3分

∵f(x)在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，

∴當x＝0時，f(x)取到極小值，即f ′(0)＝0，

∴b＝0. 6分

(2)由(1)知，f(x)＝－x3＋ax2＋c，

∵1是函數f(x)的一個零點，即f(1)＝0，∴c＝1－a.

∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝0的兩個根分別為x1＝0，x2＝. 9分

又∵f(x)在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，且函數f(x)在R上有三個零點，

∴應是f(x)的一個極大值點，因此應有x2＝>1，即a>.

∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>.

故f(2)的取值范圍為. 13分

考點：導數在研究函數性質中的應用.