Question

本小題滿(mǎn)分12分

 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“科比數(shù)列”．

 　�。�1）等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為零，若為“科比數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；

 　�。�2）數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意 都成立，試推斷數(shù)列是否為“科比數(shù)列”？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?sub>，則，即．   整理得，．                      　　　　　………………3分

       因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)上式恒成立，則，解得．　…… 5分

       故數(shù)列的通項(xiàng)公式是．                  　　　　　…………… 6分

   ⑵ 由已知，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?sub>，所以． 　　…………7分

當(dāng)時(shí)，，．

兩式相減，得．

因?yàn)?sub>，所以=．                   　…………9分

顯然適合上式，所以當(dāng)時(shí)，．

于是．

因?yàn)?sub>，則，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

所以不為常數(shù)，故數(shù)列不是“科比數(shù)列”． ……12分