Question

已知橢圓C的一個焦點為F（0，1），過點F且垂直于長軸的直線被橢圓C截得的弦長為

2

；P，Q，M，N為橢圓C上的四個點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若

PF

∥

FQ

，

MF

∥

FN

且

PF

•

FM

=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一個焦點為F（0，1），設(shè)出橢圓方程，再利用過點F且垂直于長軸的直線被橢圓C截得的弦長為

2

，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出|PQ|，|MN|，表示出面積，利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題圓C的一個焦點為F（0，1）知c=1
故可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
過焦點F（0，1）且與長軸垂直的直線方程為y=c，設(shè)此直線與橢圓交于A，B兩點
則|AB|=

2b2

a

，又|AB|=

2

，所以

2b2

a

=

2

，又b²=a²-c²=a²-1，
聯(lián)立求得b²=1，a²=2，故橢圓方程為x2+

y2

2

=1
（Ⅱ）由

PF

∥

FQ

，

MF

∥

FN

知，點P，Q，F(xiàn)共線，點M，N，F(xiàn)共線，
即直線PQ，MN經(jīng)過橢圓焦點F．又

PF

•

FM

=0知，PQ⊥MN
（i）當(dāng)PQ斜率為零或不存在時，S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b2=2
（ii）當(dāng)直線PQ存在且不為零時，可設(shè)斜率為k，則由PQ⊥MN知，MN的斜率為-

1

k

所以：直線PQ方程為：y=kx+1．直線MN方程為：y=-

1

k

x+1
將直線PQ方程y=kx+1代入橢圓方程2x²+y²-2=0，消去y并化簡整理可得（2+k²）x²+2kx-1=0，
設(shè)P，Q坐標(biāo)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

2k

2+k2

，x1x2=-

1

2+k2

…①
從而|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

，將①代入化簡得|PQ|=

2 2 (1+k2)

2+k2

，
將|PQ|中k換成-

1

k

可得|MN|=

2 2 (k2+1)

2k2+1

所以S=

1

2

|PQ||MN|=

4(k2+1)2

(2k2+1)(k2+2)

=

4k4+8k2+4

2k4+5k2+2

=

4k4+10k2+4-2k2

2k4+5k2+2

令f(k)=

4k4+10k2+4-2k2

2k4+5k2+2

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2(k2+ 1 k2 )+5

因為k2+

1

k2

≥2，所以2(k2+

1

k2

)+5≥9，故0＜

2

2(k2+ 1 k2 )+5

≤

2

9

所以

16

9

≤2-

2

2(k2+ 1 k2 )+5

＜2，當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

k2

即k=±1時，S=

16

9

綜上（i）（ii）可知

16

9

≤S≤2，即四邊形PMQN的最大面積為2，最小面積為

16

9

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．