Question

定義：若函數在某一區間D上任取兩個實數、，且，都有，則稱函數在區間D上具有性質L。
（1）寫出一個在其定義域上具有性質L的對數函數（不要求證明）。
（2）對于函數，判斷其在區間上是否具有性質L？并用所給定義證明你的結論。
（3）若函數在區間（0，1）上具有性質L，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）有，證明見解析（3）

本題以函數為載體，考查新定義，考查恒成立問題，解題的關鍵是對新定義的理解，恒成立問題采用分離參數法．
（1）寫出的函數是下凹的函數即可；
（2）函數在區間上具有性質L，運用定義法加以證明即可。
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2則＞0，只需要在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，故可求實數a的取值范圍．
解：（1）（或其它底在（0，1）上的對數函數）。…………2分
（2）函數在區間上具有性質L。…………3分
證明：任取、，且
則

、且，，
即>0，
所以函數在區間上具有性質L。……………7分
（3）任取、，且
則

、且，，
要使上式大于零，必須在、上恒成立，
即，，即實數的取值范圍為……………12分