Question

（2011•樂山一模）設函數f(x)=

x3

3

-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R
（Ⅰ）若函數f（x）在x=3處取得極小值是

1

2

，求a、b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）若函數f（x）在（-1，1）上有且只有一個極值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數，利用函數f（x）在x=3處取得極小值是

1

2

，可得f′（3）=0，f(3)=

1

2

，從而可求a、b的值；
（II）先求導函數，f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2），比較2a與2的大小，從而進行分類討論，進而可確定函數的單調遞增區間
（Ⅲ）函數f（x）在（-1，1）上有且只有一個極值點，等價于f′（x）在（-1，1）上有且只有一個解；由（II）及零點存在定理可得

a＜1 f′(-1)•f′(1)＜0

，從而可確定a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a（3分）
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0得 a=

3

2

（4分）
∵f(3)=

1

2

解得：b=-4（5分）
（II）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）
當a＞1時，2a＞2，∴f′（x）＞0時，x＞2a或x＜2，即f（x）的單調遞增區間為（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分）
當a=1時，f′（x）=（x-2）²≥0，即f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）．（9分）
當a＜1時，2a＜2，∴f′（x）＞0時，x＜2a或x＞2，即f（x）的單調遞增區間為（-∞，2a）和（2，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由題意可得：

a＜1 f′(-1)•f′(1)＜0

（12分）
∴（2a-1）（2a+1）＜0
∴-

1

2

＜a＜

1

2

∴a的取值范圍(-

1

2

，

1

2

)（14分）

點評：本題以函數為載體，考查利用導數求函數的極值，考查利用導數確定函數的單調區間，理解函數極值的定義是解題的關鍵