Question

某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級(jí)采用分層抽樣的方法從該年級(jí)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），
⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	總計(jì)
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計(jì)	60	40	100

是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考列表：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖可知：學(xué)習(xí)時(shí)間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=

5

100

，由此能夠求出n的值并補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）求出K²，比較K²與3.841的大小，能夠判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由題設(shè)條X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，能夠得到X的分布列和EX．

解答：解：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
則由圖可知：P₁=

1

3000

×30=

1

100

，P₂=

1

750

×30=

4

100

，
∴學(xué)習(xí)時(shí)間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=

5

100

，
由題n×

5

100

=5∴n=100，…（2分）
又P₃=

1

300

×30=

10

100

，P₅=

1

100

×30=

30

100

，
P₆=

1

200

×30=

15

100

，P₇=

1

300

×30=

10

100

，
P₈=

1

600

×30=

5

100

，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）
=1-

1+4+10+30+15+10+5

100

=1-

75

100

=

25

100

，
第④組的高度h=

25

100

×

1

30

=

25

3000

=

1

120

．
頻率分布直方圖如圖：（未標(biāo)明高度1/120扣1分）…（4分）
（2）K²=

100×(50×15-25×10)2

75×25×40×60

≈5.556
由于K²＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，
第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計(jì)20人．
則X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=i）=

C i 5 C 3-i 15

C 3 20

，（i=0，1，2，3），
∴P（X=0）=

C 0 5 C 3 15

C 3 20

=

91

228

，
P（X=1）=

C 1 5 C 2 15

C 3 20

=

35

76

，
P（X=2）=

C 2 5 C 1 15

C 3 20

=

30

228

，
P（X=3）=

C 3 5 C 0 15

C 3 20

=

1

114

，
∴X的分布列為：

P	0	1	2	3
X	91 228	35 76	5 38	1 114

EX=0×

91

228

+1×

105

228

+2×

30

228

+3×

2

228

=

1×105+2×30+3×2

228

=

171

228

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．