Question

已知(x2-

1

x

)n的展開式中第一項與第三項的系數之比為

1

45

，則展開式中常數項為（　　）

A．-1

B．1

C．-45

D．45

Answer 1

分析：根據二項式定理，寫出(x2-

1

x

)n的展開式的通項，可得其系數，由題意可得

C 0 n

C 2 n

=

1

45

，解可得n的值，進而可得該二項式的通項，令x的指數為0，可得r的值為8，進而將r=8代入通項可得常數項，即可得答案．

解答：解：(x2-

1

x

)n的展開式的通項為T_r+1=C_n^r•（x²）^n-r•（-

1

x

）^r，故選D．
其系數為（-1）^r•C_n^r，
由題意可得，

C 0 n

C 2 n

=

1

45

，解可得，n=10；
則(x2-

1

x

)n的展開式的通項為T_r+1=C₁₀^r•（x²）^10-r•（-

1

x

）^r=（-1）^r•C_n^rx

40-5r

2

，

40-5r

2

=0，可得r=8，
則其展開式中的常數項為T_r+1=C₁₀⁸=C₁₀²=45，
故選D．

點評：本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵是正確寫出該二項式的通項，由題意解方程得到n的值．