Question

已知函f（x）=In（ax+1）+-+b（a，b為常數，a＞0）
（1）若函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程y=2，求a、b的值；
（2）當b=2時若函數f（x）在區間[0，+∞）上的最小值為2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解（I）對函數求導可得，
由題意可得，f′（0）=0
∴a
∵a＞0
∴a=1，
∵切點坐標為（0，2）
∴b=2
（II）∵=
∵x≥0，x＞0
∴ax+1＞0
（1）當a≥1時，f′（x）≥0在區間[0，+∞）上恒成立
故f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，此時f（x）_min=f（0）=2，符合題意
（2）當0＜a＜1時，由f′（x）＞0可得，x＞；由f′（x）＜0可得0
∴f（x）在區間[0，）上單調遞減，在區間（，+∞）上單調遞增
∴f（x）_min=f（）=，而f（0）=2不合題意
綜上可得實數a的取值范圍是[1，+∞）
分析：（I）先對函數求導，，由已知f′‘（0）=0可求a，然后由切線方程可求切點坐標，進而可求b
（II）由=，通過判斷f′（x）的符合求解函數在區間[0，+∞）上的單調性，進而可求函數f（x）的最小值，結合已知即可求解a的范圍
點評：本題主要考查了函數的導數在函數的單調性的判斷中的應用，體現了分類討論思想的應用，屬于函數的導數知識的簡單綜合