Question

若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點。

已知是實數，1和是函數的兩個極值點．

（1）求和的值；

（2）設函數的導函數，求的極值點；

（3）設，其中，求函數的零點個數．

 

Answer 1

【答案】

（1）。      （2）的極值點是－2    （3）當時，函數有5 個零點；當時，函數有9 個零點。

【考點】函數的概念和性質，導數的應用。

【解析】（1）求出的導數，根據1和是函數的兩個極值點代入列方程組求解即可。

       （2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可。

       （3）比較復雜，先分和討論關于 的方程 根的情況；再考慮函數的零點

解：（1）由，得。

                ∵1和是函數的兩個極值點，

                ∴ ，，解得。

           （2）∵ 由（1）得， ，

                ∴，解得。

                ∵當時，；當時，，

                ∴是的極值點。

                ∵當或時，，∴ 不是的極值點。

                ∴的極值點是－2。

（3）令，則。

 先討論關于 的方程 根的情況：

當時，由（2 ）可知，的兩個不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數，∴的兩個不同的根為一和2。

當時，∵， ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 當時， ，于是是單調增函數，從而。

此時在無實根。

② 當時．，于是是單調增函數。

又∵，，的圖象不間斷，

∴ 在（1 , 2 ）內有唯一實根。

同理，在（一2 ，一I ）內有唯一實根。

③ 當時，，于是是單調減兩數。

又∵， ，的圖象不間斷，

∴在（一1，1 ）內有唯一實根。

因此，當時，有兩個不同的根滿足；當 時

有三個不同的根，滿足。

現考慮函數的零點：

( i ）當時，有兩個根，滿足。

而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點。

( 11 ）當時，有三個不同的根，滿足。

而有三個不同的根，故有9 個零點。

綜上所述，當時，函數有5 個零點；當時，函數有9 個零點