Question

設a為正實數，函數f（x）=x³－ax²－a²x+1, x∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）設曲線y=f（x）與直線y=0至多有兩個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）_（極大）=f
f（x）_（極小）=f（a）=a³－a³－a³+1=1－a³
（2）見解析（3）0<a≤1

（1）f′（x）=3x²－2ax－a²……………………………………………………2分
由f′（x）=3x²－2ax－a²=0，得x₁=－，x₂="a," （a>0）

x	（－，－）	－	（－,a）	a	（a,+ ∞）
f′（x）	+	0	－	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

……………………………………………………………………………………5分
∴f（x）_（極大）=f
f（x）_（極小）=f（a）=a³－a³－a³+1=1－a³……………………………………………7分
（2）∵f（x）在（－∞，－）上遞增，在（－,a）上遞減，在（a,+ ∞）上遞增，
f（x）_（極大）= a³+1>0………………………………………………………………9分
①當極小值f（a）=1－a³≥0，即0<a≤1時，y=f（x）與y=0在x∈（－，+∞）上有1個或0個公共點，此時f（－1）=a（a－1） ≤0
∴y=f（x）與y="0 " 在x∈（－∞，－）上有1個公共點
∴0<a≤1時，y=f（x）與y=0有1個或2個公共點……………………………11分
②當極小值f（a）=1－a³<0即a>1時，y=f（x）與y=0在x∈（－，+∞）上有2個公共點，此時f（－a）=1－a³<0
∴y=f（x）與y="0" 在x∈（－∞，－）上有1個公共點
∴a>1時，y=f（x）與y=0有3個公共點………………………………………13分
綜上，0<a≤1……………………………………………………………………14分