Question

如圖，三棱柱中，△ABC是正三角形，，平面平面，.

（1）證明：；
（2）證明：求二面角的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)的動點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）如圖，取的中點(diǎn),連結(jié)、,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/df/7/fkdtw.png" style="vertical-align:middle;" />是正三角形，所以,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2c/d/lhlmk.png" style="vertical-align:middle;" />,所以;由,那么,所以;（2）由（1）結(jié)合條件可以得到就是二面角的平面角，在直角三角形中，有,又那么在直角三角形中，可根據(jù)勾股定理求出,那么;（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角平面坐標(biāo)系，要使得最小，就是要找出點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn),求出即可.因此建立如解析中空間直角坐標(biāo)系求.
試題解析：（1）證明：∵ ，△是正三角形，
∴ ，
∴ ,
又∵ ,∴△是正三角形，
取中點(diǎn)，連結(jié)、，則
又∵，
∴,
又∵,
∴  
（2）證明：∵，由（1）知，
∴，
∴；
∵
   ∴
∵,∴ ，
在
∴
（3）解：延長至使，連結(jié)、、，
以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)是，
則就是的最小值，

考點(diǎn)：立體幾何中的垂直問題；成角問題；距離問題.