Question

（2004•寶山區一模）已知

i

、

j

分別是與x軸、y軸正方向相同的單位向量，

OB1

=a•

i

+2

j

（a∈R），對任意正整數n，

BnBn+1

=51•

i

+3•2n-1

j

．
（1）若

OB1

⊥

B2B3

，求a的值；
（2）求向量

OBn

；
（3）設向量

OBn

=xn•

i

+yn•

j

，求最大整數a的值，使對任意正整數n，都有x_n＜y_n成立．

Answer 1

分析：（1）由題意

B2B3

=51

i

+6

j

，知51a+12=0，由此能求出a的值．
（2）由題意

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=a•

i

+2•

j

+51(n-1)

i

+(3+3•2+…+3•2n-2)

j

，由此能求出結果．
（3）x_n=51n+a-51，y_n=3•2^n-1-1，由51n+a-51＜3•2^n-1-1恒成立，得a＜3•2^n-1-51n+50恒成立，令a_n=3•2^n-1-51n+50，只需求數列{a_n}得最小項．由此能求出最大整數a的值，使對任意正整數n，都有x_n＜y_n成立．

解答：解：（1）由題意

B2B3

=51

i

+6

j

，
所以51a+12=0，
解得a=-

4

17

．（5分）
（2）

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=a•

i

+2•

j

+51(n-1)

i

+(3+3•2+…+3•2n-2)

j

=(51n+a-51)

i

+(3•2n-1-1)

j

（10分）
（3）x_n=51n+a-51，y_n=3•2^n-1-1，
由51n+a-51＜3•2^n-1-1恒成立，
得a＜3•2^n-1-51n+50恒成立，
令a_n=3•2^n-1-51n+50，
只需求數列{a_n}得最小項．（13分）
由

an≤an+1 an≤an-1

，
得6≤n≤6，
即n=6，
a₆=-160，
所以a=-161．（16分）

點評：本題考查數列和向量的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．