Question

16、關于數列{a_n}有以下命題，其中錯誤的命題為（　　）

A、若n≥2且a_n+1+a_n-1=2a_n，則{a_n}是等差數列

B、設數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=1+a_n，則數列{a_n}的通項a_n=（-1）^n-1

C、若n≥2且a_n+1a_n-1=a_n²，則{a_n}是等比數列

D、若{a_n}是等比數列，且m，n，k∈N⁺，m+n=2k，則a_ma_n=a_k²

Answer 1

分析：A、當n≥2時，由a_n+1+a_n-1=2a_n，根據等差數列的性質即可得到此數列為等差數列；
B、根據已知的等式求出a₁的值，當n≥2時，由S_n-S_n-1=a_n即可得到此數列的公比，進而寫出數列的通項公式；
C、舉一個反例，說明{a_n}不是等比數列；
D、根據等比數列的性質即可得到此選項正確．

解答：解：A、當n≥2時，由a_n+1+a_n-1=2a_n，變形得：a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，根據等差數列的性質得到{a_n}是等差數列，本選項正確；
B、當n=1時，2S₁=2a₁=1+a₁，解得a₁=1，
n≥2時，由2S_n=1+a_n①得到：2S_n-1=1+a_n-1②，
①-②得：2a_n=a_n-a_n-1，即a_n=-a_n-1，即公比q=-1，
所以數列{a_n}為首項為1，公比為-1的等比數列，
則a_n=（-1）^n-1，本選項正確；
C、當數列{a_n}的各項為0時，滿足n≥2且a_n+1a_n-1=a_n²，但數列{a_n}不是等比數列，本選項錯誤；
D、因為{a_n}是等比數列，m，n，k∈N⁺，m+n=2k，所以根據等比數列的性質得到a_ma_n=a_k²，本選項正確，
則錯誤的命題的選項為C．
故選C

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質及等比數列的性質化簡求值，是一道基礎題．注意說明命題為假命題經常使用舉反例的方法．