Question

如圖，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，異面直線AM與直線PC所成的角為60°.
（Ⅰ）求二面角M－AC－B大小的正切值；
（Ⅱ）求三棱錐P－MAC的體積.

Answer 1

（1）（2）

方法一：（Ⅰ）取BC的中點N，連結MN.
由已知，PMCN，則MNPC，所以MN⊥平面ABC.                           
過點N作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連結MH，
由三垂線定理知，AC⊥MH.
所以∠MHN為二面角M－AC－B的平面角.                                     
連結AN，在△ACN中，由余弦定理，得.
由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.                        
在Rt△CHN中，.                                      
在Rt△MNH中，.
故二面角M－AC－B的正切值是.                                         
（Ⅱ）因為四邊形PCNM為正方形，MN⊥平面ABC，則
.         
方法二：（Ⅰ）在平面ABC內，過點C作CB的垂線，
按如圖所示建立空間直角坐標系.                                     
設點，由已知可得，點，
，則.
因為直線AM與直線PC所成的角為60°，則
，即.
解得z₀＝1，從而.                             
設平面MAC的一個法向量為n，則，即.
取，則n.                                                
又m＝(0，0，1)為平面ABC的一個法向量，設向量m與n的夾角為θ，則.
從而，.                                            
顯然，二面角M－AC－B的平面角為銳角，故二面角M－AC－B的正切值是.  
（Ⅱ）因為a＝(1，0，0)為平面PCM的一個法向量，，則
點A到平面PCM的距離.                                     
又PC＝PM＝1，則.