Question

（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且橢圓C經過點．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）點Q的軌跡方程為10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）

【解析】（I）∵橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且橢圓C經過點．

∴c=1，2a=PF₁+PF₂==2，即a=

∴橢圓的離心率e===…4分

（II）由（I）知，橢圓C的方程為，設點Q的坐標為（x，y）

（1）當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，﹣1）兩點，此時點Q的坐標為（0，2﹣）

（2）當直線l與x軸不垂直時，可設其方程為y=kx+2，

因為M，N在直線l上，可設點M，N的坐標分別為（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），則

，，又|AQ|²=（1+k²）x²，

∴，即=…①

將y=kx+2代入中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②

由△=（8k）²﹣24（2k²+1）＞0，得k²＞

由②知x₁+x₂=，x₁x₂=，代入①中化簡得x²=…③

因為點Q在直線y=kx+2上，所以k=，代入③中并化簡得10（y﹣2）²﹣3x²=18

由③及k²＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）

由題意，Q（x，y）在橢圓C內，所以﹣1≤y≤1，

又由10（y﹣2）²﹣3x²=18得（y﹣2）²∈[，）且﹣1≤y≤1，則y∈（，2﹣）

所以，點Q的軌跡方程為10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分