Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且(a－1)S_n＝a(a_n－1)(a＞0，n∈N*)．

(1)求證數列{a_n}是等比數列，并求a_n；

(2)已知集合A＝{x|x²＋a≤(a＋1)x}，問是否存在實數a，使得對于任意的n∈N*都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)當n＝1時，∵(a－1)S1＝a(a1－1)，∴a1＝a(a＞0)；　1分 　　當n≥2時，∵(a－1)Sn＝a(an－1)(a＞0)，∴(a－1)Sn－1＝a(an－1－1)(a＞0)， 　　∴(a－1)an＝a(an－an－1)，變形得：＝a(n≥2)，　4分 　　∴數列是以a1＝a為首項，a為公比的等比數列，an＝an．　6分 　　(2)當a＝1時，A＝{1}，Sn＝n，只有n＝1時，Sn∈A，∴a＝1不合題意；　8分 　　當a＞1時，A＝{x|1≤x≤a}，S2＝a＋a2＞a，∴S2A， 　　∴a＞1時不存在滿足條件得實數a；　10分 　　當0＜a＜1時，A＝{x|a≤x≤1}， 　　Sn＝a＋a2＋a3＋…＋an＝(1－an)∈[a，)，　11分 　　因此對任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需解得0＜a≤， 　　綜上得實數a的取值范圍是(0，]　13分