Question

已知數列為等差數列，數列為等比數列，若，且.
（1）求數列，的通項公式；
（2）是否存在，使得，若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），；（2）不存在假設的.

試題分析：本題考查等差數列與等比數列的概念、通項公式等基礎知識，考查思維能力、分析問題與解決問題的能力.第一問，用代替，得到新的表達式，2個表達式相減，得到，設的通項公式，代入中，得到表達式，又由于為等比數列，所以化簡成關于的方程，這個方程恒成立，所以，由于，所以，所以可以得到的通項公式；第二問，用反證法，找到矛盾.
試題解析：（1）當時，
∴，相減得：
，
令
則，（常數），
即對任意恒成立，
故.又，∴，.
（2）假設存在滿足條件，則，
由于等式左邊為奇數，故右邊也為奇數，∴，
即，但左邊為偶數，右邊為奇數，矛盾！
所以不存在假設的.