Question

（2008•寶山區一模）如圖，已知正△A₁B₁C₁的邊長是1，面積是P₁，取△A₁B₁C₁各邊的中點A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂的面積為P₂，再取△A₂B₂C₂各邊的中點A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃的面積為P₃，依此類推．記S_n=P₁+P₂+…+P_n，則

lim

n→∞

Sn=

3

3

．

Answer 1

分析：先利用邊長之間的關系得出邊長組成以1為首項，

1

2

為公比的等比數列，進而得出三角形的面積組成以

3

4

為首項，

1

4

為公比的等比數列，利用等比數列的求和公式進行求和，再求極限．

解答：解：由題意，由于邊長組成以1為首項，

1

2

為公比的等比數列，
所以三角形的面積組成以

3

4

為首項，

1

4

為公比的等比數列，
∴S_n=P₁+P₂+…+P_n=

3 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴

lim

n→∞

Sn=

3

3

故答案為

3

3

點評：本題的考點是數列的極限，主要考查等比數列的和的極限，關鍵是從實際問題中抽象出等比數列的模型，進而再求數列的極限．